عنوان فعالیت: فعالیت یافتن برد توابع ریاضی دهم انسانی
با توجه به ضابطه‌ی هر تابع و مانند نمونه، مجموعه‌ی مقادیر یا **برد** هر تابع را مشخص کنید.
(نمونه حل شده): $\mathbf{f: A \to B \quad f(x) = 2x^2 + 1 \quad , \quad A = \{-1, \sqrt{2}, 2, 1, 0, \frac{1}{2}\}$
$$\mathbf{f(-1) = 2(-1)^2 + 1 = 3}$$
$$\mathbf{f(\sqrt{2}) = 2(\sqrt{2})^2 + 1 = 5}$$
$$\mathbf{f(2) = 2(2)^2 + 1 = 9}$$
$$\mathbf{f(1) = 2(1)^2 + 1 = 3}$$
$$\mathbf{f(0) = 2(0)^2 + 1 = 1}$$
$$\mathbf{f(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^2 + 1 = \frac{3}{2}}$$
$$\mathbf{\Rightarrow R_f = \{3, 5, 9, 1, \frac{3}{2}\}}$$
الف) $\mathbf{f: A \to B \quad f(x) = \sqrt{x + 1} - 1 \quad , \quad A = \{0, -1, 8, 3, 2\}}$
ب) $\mathbf{f: A \to B \quad f(x) = \frac{x + 1}{x - 2} \quad , \quad A = \{-2, 0, 1, \sqrt{2}, \frac{1}{2}\}$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت یافتن برد توابع صفحه 51 ریاضی دهم انسانی
سلام به شما دانش‌آموزان!
**برد تابع** (Range, $\mathbf{R_f}$) مجموعه‌ای از **خروجی‌های** تابع است که با جایگذاری تمام اعضای **دامنه ($athbf{A}$)** در ضابطه‌ی تابع ($athbf{f(x)}$) به دست می‌آید. باید تمام مقادیر محاسبه شده را در یک مجموعه قرار دهیم و مقادیر تکراری را فقط یک بار بنویسیم.
---
### الف) $\mathbf{f(x) = \sqrt{x + 1} - 1 \quad , \quad A = \{0, -1, 8, 3, 2\}}$
**نکته مهم:** اعضای دامنه را که زیر رادیکال را منفی می‌کنند (اگرچه در اینجا همه‌ی ورودی‌ها مجاز هستند) بررسی می‌کنیم.
1. **برای $\mathbf{x = 0}$:**
$$\mathbf{f(0) = \sqrt{0 + 1} - 1 = \sqrt{1} - 1 = 1 - 1 = 0}$$
2. **برای $\mathbf{x = -1}$:**
$$\mathbf{f(-1) = \sqrt{-1 + 1} - 1 = \sqrt{0} - 1 = 0 - 1 = -1}$$
3. **برای $\mathbf{x = 8}$:**
$$\mathbf{f(8) = \sqrt{8 + 1} - 1 = \sqrt{9} - 1 = 3 - 1 = 2}$$
4. **برای $\mathbf{x = 3}$:**
$$\mathbf{f(3) = \sqrt{3 + 1} - 1 = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1}$$
5. **برای $\mathbf{x = 2}$:**
$$\mathbf{f(2) = \sqrt{2 + 1} - 1 = \sqrt{3} - 1}$$
**مجموعه‌ی خروجی‌ها:** $\mathbf{\{0, -1, 2, 1, \sqrt{3} - 1\}}$
$$\mathbf{\text{برد تابع } R_f = \{-1, 0, 1, 2, \sqrt{3} - 1\}}$$
---
### ب) $\mathbf{f(x) = \frac{x + 1}{x - 2} \quad , \quad A = \{-2, 0, 1, \sqrt{2}, \frac{1}{2}\}$
**نکته مهم:** قبل از محاسبه، باید مطمئن شویم هیچ کدام از اعضای دامنه، مخرج را صفر نمی‌کنند. مخرج $\mathbf{x - 2 = 0}$ در $\mathbf{x = 2}$ صفر می‌شود. چون $\mathbf{2 \notin A}$، همه‌ی ورودی‌ها مجازند.
1. **برای $\mathbf{x = -2}$:**
$$\mathbf{f(-2) = \frac{-2 + 1}{-2 - 2} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}}$$
2. **برای $\mathbf{x = 0}$:**
$$\mathbf{f(0) = \frac{0 + 1}{0 - 2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}}$$
3. **برای $\mathbf{x = 1}$:**
$$\mathbf{f(1) = \frac{1 + 1}{1 - 2} = \frac{2}{-1} = -2}$$
4. **برای $\mathbf{x = \sqrt{2}}$:**
$$\mathbf{f(\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 2}}$$
(برای ریشه‌گیری می‌توان در $\mathbf{\sqrt{2} + 2}$ ضرب کرد:
$$\mathbf{\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 2} \times \frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2} + 2} = \frac{2 + 2\sqrt{2} + \sqrt{2} + 2}{2 - 4} = \frac{4 + 3\sqrt{2}}{-2} = -2 - \frac{3\sqrt{2}}{2}}$$
5. **برای $\mathbf{x = \frac{1}{2}}$:**
$$\mathbf{f(\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{2} + 1}{\frac{1}{2} - 2} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1 - 4}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{-3}{2}} = -1}$$
**مجموعه‌ی خروجی‌ها:** $\mathbf{\{\frac{1}{4}, -\frac{1}{2}, -2, -2 - \frac{3\sqrt{2}}{2}, -1\}}$
$$\mathbf{\text{برد تابع } R_f = \{-2, -1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -2 - \frac{3\sqrt{2}}{2}\}}$$
(توجه: مقدار $-athbf{2 - \frac{3\sqrt{2}}{2}}$ تقریباً $athbf{-4.12}$ است.)
